【 数理科学特論Ｂ】 〈 旧名称：応用数学Ｃ 〉
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工学の幅広い分野で使われ，かつ解析上の強力な手段となり得る応用数学の基本的な２つの分野として，複素関数論と変分法を取り挙げ，数学的ｾﾝｽを身に付けることを狙った講義を行なう。 具体的には，複素関数論ではｶﾞｳｽ平面の概念から始めて，正則関数とｺｰｼｰ･ﾘｰﾏﾝの条件，留数定理まで，変分法では，物理現象に対する数学ﾓﾃﾞﾙの作成に重点を置いて講義し，付帯条件付きの変分問題として所謂等周問題に言及する。 何れも，数学的厳密さに拘ることなく，力学・流体力学・振動問題などへの適用を念頭に置いた内容である。 |
目 次
第T部 複 素 関 数 論
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第１章 複 素 数 ･････ 〈 p. 1〜6 〉 §1.1 複素数とｶﾞｳｽ平面 ･････････････････････････････････････････････････････ §1.2 ｵｲﾗｰの公式 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §1.3 複 素 共 役 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §1.4 四 則 演 算 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §1.5 乗法の幾何学 ･････････････････････････････････････････････････････････ §1.6 加法･減法の幾何学と三角不等式 ････････････････････････････････････････ §1.7 ﾄﾞ･ﾓｱﾌﾞﾙの公式とその応用 ･････････････････････････････････････････････ §1.8 n乗根とｶﾞｳｽ平面 ･･････････････････････････････････････････････････････ |
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第２章 初等関数と写像 ･････ 〈 p. 7〜12 〉 §2.1 １ 次 関 数 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §2.2 分 数 関 数 1/z ･･･････････････････････････････････････････････････････ §2.3 ２ 次 関 数 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §2.4 平 方 根 √z ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §2.5 指 数 関 数 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §2.6 三 角 関 数 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §2.7 対数関数と多価性 ･････････････････････････････････････････････････････ §2.8 冪 関 数 zβ ･･･････････････････････････････････････････････････････････ |
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第３章 複素関数の微分と正則関数 ･････ 〈 p.13〜21 〉 §3.1 導 関 数 ･･････････････････････････････････････････････････････････････ §3.2 ｺｰｼｰ･ﾘｰﾏﾝの条件 ･･････････････････････････････････････････････････････ §3.3 ｺｰｼｰ･ﾘｰﾏﾝの条件の別解釈 ･･････････････････････････････････････････････ §3.4 初等関数の導関数 ･････････････････････････････････････････････････････ §3.5 逆関数の導関数と正則性 ･･･････････････････････････････････････････････ |
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第４章 複素関数の積分法とｺｰｼｰの積分定理 ･････ 〈 p.22〜32 〉 §4.1 複 素 積 分 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §4.2 線積分と面積分 ･･･････････････････････････････････････････････････････ §4.3 ｺｰｼｰの積分定理 ･･･････････････････････････････････････････････････････ §4.4 ｺｰｼｰの積分公式 ･･･････････････････････････････････････････････････････ §4.5 ﾓﾚﾗの定理 ････････････････････････････････････････････････････････････ §4.6 ﾌｰﾘｴ逆変換の証明 ･････････････････････････････････････････････････････ §4.7 ﾃｲﾗｰ展開 ･････････････････････････････････････････････････････････････ §4.8 特異点とﾛｰﾗﾝ展開 ･････････････････････････････････････････････････････ |
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第５章 留数の定理と定積分の計算 ･････ 〈 p.33〜39 〉 §5.1 留数の定理 ･･･････････････････････････････････････････････････････････ §5.2 定積分の計算 （@） ･･････････････････････････････････････････････････ §5.3 定積分の計算 （A） ･･････････････････････････････････････････････････ §5.4 定積分の計算 （B） ･･････････････････････････････････････････････････ |
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第U部 変 分 法
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第６章 変 分 原 理 ･････ 〈 p.40〜47 〉 §6.1 汎関数と許容関数 ･････････････････････････････････････････････････････ §6.2 変分とｵｲﾗｰの方程式 ･･･････････････････････････････････････････････････ §6.3 最短曲線と最速降下線 ･････････････････････････････････････････････････ §6.4 多くの関数がある場合の変分 ･･･････････････････････････････････････････ |
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第７章 付帯条件付き変分問題 ― 等周問題 ― ･････ 〈 p.48〜53 〉 §7.1 等周問題 ･････････････････････････････････････････････････････････････ §7.2 多くの関数がある場合の等周問題 ･･･････････････････････････････････････ |
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